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lorenzo 04:37:27 pm on Maggio 30, 2008 | rispondi! | # |
Tag:matematica, training

Dimostrare che, se la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) è nulla per ogni x di un dato intervallo J, allora f(x) è costante in J.
(Quesito 6 maturità 2005 PNI)

Abbiamo per ipotesi che per ogni x nell’intervallo J, f’(x) = 0; supponiamo inoltre che f sia continua su [a; b] appartenente a J, e che sia derivabile su ]a; b[. Con queste ipotesi possiamo applicare il teorema di Lagrange a f:

per il teorema di Lagrange esiste un punto k in J tale che $f'(k)=\frac{f(b)-f(a)}{a-b}$

Poichè f‘(x) = 0 su tutto l’intervallo, f’(k) = 0, per cui semplificando si ottiene f(a) = f(b). Poichè i punti a e b sono scelti arbitrariamente, la funzione è costante su tutto l’intervallo J.
lorenzo 09:17:09 pm on Maggio 29, 2008 | rispondi! | # |
Tag:matematica, training

Inizia oggi una sezione dedicata alla seconda prova di matematica. Di tanto in tanto - se ci riesco - pubblicherò la soluzione di un esercizio della seconda prova, per tenerci in allenamento. Se avete domande, o volete proporre voi qualcosa, scrivete pure nei commenti :)

Quesito 5 del questionario dell’Esame di Stato 2001-2002 (sessione supplettiva):

Utilizzando il teorema di Rolle provare che tra due radici reali di $e^x sinx = 1$ c’è almeno una radice reale di $e^x cosx = -1$ .

Soluzione proposta: Consideriamo $e^x sinx = 1$ e riscriviamolo come $sinx = e^{-x}$ , e la funzione $f(x) = \sin x - e^{-x}$ : essa ha dominio D = R; se esistono $a,b \in D$ tali che $f(a)=f(b)=0$ , poichè la funzione è continua su [a, b] e derivabile su ]a, b[, possiamo applicare il teorema di Rolle su [a,b]:

$\exists c \in \left[a,b\right] : f'(c)=\cos x +e^{-x}=0$

Il punto c è soluzione dell’equazione $\cos x +e^{-x}=0$ , che possiamo riscrivere come $e^x\cos x = -1$ .