Dimostrare che, se la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) è nulla per ogni x di un dato intervallo J, allora f(x) è costante in J.
(Quesito 6 maturità 2005 PNI)
Abbiamo per ipotesi che per ogni x nell’intervallo J, f’(x) = 0; supponiamo inoltre che f sia continua su [a; b] appartenente a J, e che sia derivabile su ]a; b[. Con queste ipotesi possiamo applicare il teorema di Lagrange a f:
per il teorema di Lagrange esiste un punto k in J tale che
Poichè f‘(x) = 0 su tutto l’intervallo, f’(k) = 0, per cui semplificando si ottiene f(a) = f(b). Poichè i punti a e b sono scelti arbitrariamente, la funzione è costante su tutto l’intervallo J.
- pubblicherò la soluzione di un esercizio della seconda prova, per tenerci in allenamento. Se avete domande, o volete proporre voi qualcosa, scrivete pure nei commenti :) 
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